Invariant and Coinvariant Spaces for the Algebra of Symmetric Polynomials in Non-Commuting Variables

We analyze the structure of the algebra K〈x〉n of symmetric polynomials in non-commuting variables in so far as it relates to K[x]n , its commutative counterpart. Using the “place-action” of the symmetric group, we are able to realize the latter as the invariant polynomials inside the former. We discover a tensor product decomposition of K〈x〉n analogous to the classical theorems of Chevalley, Shephard-Todd on finite reflection groups. Résumé. Nous analysons la structure de l’algèbre K〈x〉n des polynômes symétriques en des variables non-commutatives pour obtenir des analogues des résultats classiques concernant la structure de l’anneau K[x]n des polynômes symétriques en des variables commutatives. Plus précisément, au moyen de “l’action par positions”, on réalise K[x]n comme sous-module de K〈x〉n . On découvre alors une nouvelle décomposition de K〈x〉n comme produit tensorial, obtenant ainsi un analogues des théorèmes classiques de Chevalley et Shephard-Todd.